<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\tagged{method}{\begin{xcomment}{method,exo}}

\section{Généralités.}
\label{second_degre_generalites}

\subsection*{Définition}

\begin{frame}[t]

\onslide&lt;1-&gt;{
\begin{definition}{}
 Une fonction du second degré est de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$. 
\onslide&lt;2-&gt;{ Les nombres $a$, $b$ et $c$ sont  appelés les \underline{coefficients}. }
\onslide&lt;3-&gt;{  Le coefficient $a$ doit être différent de zéro. }
\end{definition}
}

\onslide&lt;4-&gt;{
Exemple : 

\begin{itemize}
	\item&lt;5-&gt; $2x^2-5x+10$ est une fonction du second degré. \onslide&lt;6-&gt;{Ses coefficients sont 2,$-5$ et 10. }
	
	\item&lt;7-&gt; $5x-3$ n'est pas une fonction du second degré. \onslide&lt;8-&gt;{C'est une fonction affine.}
	
	\item&lt;9-&gt; $x^3-5x+2$ non plus. \onslide&lt;10-&gt;{C'est un polynôme de degré 3.}
\end{itemize}
}

\onslide&lt;11-&gt;{\notez}

\end{frame}


\subsection*{Forme convexe et concave}

\begin{frame} 

\begin{property}{}
\onslide&lt;1-&gt;{
La courbe représentative d'une fonction du second degré est une parabole \underline{convexe} si $a$ est positif} \onslide&lt;3-&gt;{ et \underline{concave} si $a$ est négatif.}	

\onslide&lt;5-&gt;{La parabole a un axe de symétrie qui passe par le sommet.}
\end{property}


\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|} \hline 
	\onslide&lt;2-&gt;{forme convexe} &amp; \onslide&lt;5-&gt;{forme concave} \\
	
	\begin{tikzpicture}[scale=1,general]
	\window{-3}{3}{-2}{5}
	\begin{windowsratio}
	\onslide&lt;2-&gt;{
	\axeH;
	\clip (\Xmin,\Ymin) rectangle (\Xmax,\Ymax);
	\def \f{0.5*(\x)^2-1};
	\draw[samples=100,domain=-4:4,courbe]
	plot(\x,{\f});
	}
	\onslide&lt;6-&gt;{
	\draw[color=green!60!black] plot[mark=*,mark options={scale=2}] coordinates {(0,-1)} node[below right]{$S$};
	\draw[color=green!60!black,dashed] (0,-2)--(0,5); 
	\draw[color=green!60!black,dashed] (0,-1)--(0,0) node[above left]{$-\frac{b}{2a}$};  
	}
	\end{windowsratio}
	\end{tikzpicture} &amp;

	\begin{tikzpicture}[scale=1,general]
	\onslide&lt;4-&gt;{
	\window{-3}{3}{-2}{5}
	\begin{windowsratio}
	\axeH;
	\clip (\Xmin,\Ymin) rectangle (\Xmax,\Ymax);
	\def \f{-0.5*(\x)^2+3};
	\draw[samples=100,domain=-4:4,courbe]
	plot(\x,{\f});
	}
	\onslide&lt;7-&gt;{
	\draw[color=green!60!black] plot[mark=*,mark options={scale=2}] coordinates {(0,3)} node[above right]{$S$};
	\draw[color=green!60!black,dashed] (0,-2)--(0,5); 
	\draw[color=green!60!black,dashed] (0,3)--(0,0) node[below]{$-\frac{b}{2a}$}; }           
	\end{windowsratio}
	\end{tikzpicture} 	
 \\ \hline
\end{tabular}	
\end{center}

\onslide&lt;8-&gt;{\notez}

\end{frame}





\section{Tout est dans le style \ldots}
\label{second_degre_style}

\begin{frame}

	Une fonction du second degré peut s'écrire de trois manières différentes :
	
	 
	\onslide&lt;2-&gt;
	\hfil
	\begin{tikzpicture}
	\onslide&lt;4-&gt;{
	\node[ellipse,fill=green!40!white] (f1) at (0,0) 
	{\begin{tabular}{cc}forme développée \\ $ax^2+bx+c$ \end{tabular}};
	}
	\onslide&lt;7-&gt;{
	\node[ellipse,fill=blue!20!white] (f2) at (6,0) 	{\begin{tabular}{cc}forme factorisée \\ $a(x-x_1)(x-x_2)$ \end{tabular}};
	}
	
	\onslide&lt;2-&gt;{
	\node[ellipse,fill=red!40!white] (f3) at (3,-3) 	{\begin{tabular}{cc}forme canonique \\ $a(x-r)^2+s$ \end{tabular}};
	}
	
	\onslide&lt;11-&gt;{
	\draw[-latex] (f1) to[bend right] node[above] {fact.} (f2);
	\draw[-latex] (f2) to[bend right] node[below] {dvp.} (f1);
    }
	\onslide&lt;9-&gt;{\draw[-latex] (f1.south west) to[bend right] node{compléter le carré} (f3.south west);}
	\onslide&lt;3-&gt;{ \draw[-latex] (f3.north west) to[bend right] node{développer} (f1.south); }
	\onslide&lt;10-&gt;{
	\draw[-latex] (f2.south) to[bend right] node {comp. le carré} (f3.north east); }
	\onslide&lt;6-&gt;{
	\draw[-latex] (f3.south east) to[bend right] node{factoriser} (f2.south east);
	}
	\end{tikzpicture}
	\hfil

Exemple : $\onslide&lt;5-&gt;{2x^2-20x+32=} \onslide&lt;2-&gt;{2(x-5)^2-18} \onslide&lt;8-&gt;{=2(x-8)(x-2)}$.

\onslide&lt;12-&gt;{	\notez}
	
	
\end{frame}


\section{L'équation du second degré}
\label{second_degre_formule_resolution}


\begin{frame}

Pour résoudre l'équation $ax^2+bx+c=0$ on commence par calculer le \underline{discriminant} $$\Delta=b^2-4ac \,.$$



\begin{theorem}{}
\begin{itemize}
\item&lt;2-&gt; Si $\Delta&gt;0$ alors l'équation admet deux solutions:

 $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

\item&lt;4-&gt; Si $\Delta=0$ alors l'équation admet une seule solution
 $x_0=\frac{-b}{2a}$.

\item&lt;5-&gt; Si $\Delta&lt;0$ alors l'équation n'admet aucune solution.

\end{itemize}
\end{theorem}
	
\mode&lt;beamer&gt;{
\onslide&lt;3&gt;{\color{green} C'est le cas qu'on rencontre le plus souvent.	
}	}

\onslide&lt;6&gt; \notez
	
	
\end{frame}	





\begin{frame}


\begin{method}[methode_delta]{Trouver les zéros de $ax^2+bx+c$}
Cela revient à résoudre l'équation $ax^2+bx+c=0$. On commence par calculer le discriminant $\Delta$, puis on utilise les formules.
\end{method}

\begin{exo}[type=method]
Résoudre l'équation $x^2-2x-15=0$.

\begin{sol}

\onslide&lt;2-&gt;{	
{\color&lt;beamer&gt;{green} Ici $a=1$, $b=-2$ et $c=-15$,}}
\onslide&lt;3-&gt;{ 
{\color&lt;beamer&gt;{green}donc} $$\Delta=(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4+60 = 64 \,.$$ }

\vspace{-5mm}

\onslide&lt;4-&gt;{
$\Delta$ est positif donc l'équation admet deux solutions:}

\begin{center}
$
\begin{array}[t]{rcl}
\onslide&lt;5-&gt;{ x_1 &amp; = &amp; \frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot 1}  }\\
\onslide&lt;6-&gt;{&amp; = &amp; \frac{2-8}{2}} \\
\onslide&lt;7-&gt;{ &amp; = &amp; \frac{-6}{2} =-3 }
\end{array}
$ \onslide&lt;5-&gt;{et}
$
\begin{array}[t]{rcl}
\onslide&lt;5-&gt;{x_2 &amp; = &amp; \frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot 1}} \\
\onslide&lt;6-&gt;{ &amp; = &amp; \frac{2+8}{2}  }\\
\onslide&lt;7-&gt;{ &amp; = &amp; \frac{10}{2} =5 }
\end{array}
$
\end{center}


\onslide&lt;8-&gt;{
\begin{remark}On peut faire une vérification:\end{remark} }


\onslide&lt;9-&gt;{ Pour $x=-3$, \qquad $x^2-2x-15} \onslide&lt;10-&gt;{ = 9 + 6 -15} \onslide&lt;11-&gt;{= 0.}$ 

\onslide&lt;12-&gt;{Pour $x=5$,  \qquad  $x^2-2x-15 } \onslide&lt;13-&gt;{ = 25 -10 -15 } \onslide&lt;14-&gt;{= 0.}$


\onslide&lt;15-&gt;{\notez}
\end{sol}

\end{exo}



\end{frame}












\section{Formule du sommet}
\label{second_degre_formule_sommet}


\begin{frame}
	
	Lorsque la fonction est sous la forme canonique $a(x-r)^2+s$, le sommet est $S(r;s)$.  
	
	\pause Sinon :
	
	\pause 
	
	\begin{formula}{}
		Le sommet de la parabole, d'équation $y=ax^2+bx+c$, a pour abscisse $x_S = -\frac{b}{2a}$.
	\end{formula}
	
	\pause 
	
	\notez
	
\end{frame}


\begin{frame}
	
	\begin{method}[methode_sommet]{Coordonnées du sommet}
	Soit on sait mettre le trinôme sous la forme canonique, soit on applique la formule.
	\end{method}
	
	\begin{exo}[type=method]	
		Calculer les coordonnées du sommet de la parabole d'équation $y=\alert&lt;5&gt;{2}x^2\alert&lt;4&gt;{-8}x+5$.
		
		\begin{sol}
		
		\onslide&lt;2-&gt;
		{$x_S}  \onslide&lt;3-&gt;{= -  \frac{\onslide&lt;4-&gt;{\alert&lt;4&gt;{-8}}}{\onslide&lt;5-&gt;{2 \cdot \alert&lt;5&gt;{2} }}}  \onslide&lt;6-&gt;{= 2 .} $
		
		\onslide&lt;7-&gt;{Pour $x=2$,}  $\onslide&lt;8-&gt;{y = 2\cdot 2^2 -8 \cdot 2 +5 } \onslide&lt;9-&gt;{ = 
			8-16+5 } \onslide&lt;10-&gt;{= -3.}$
		
		\onslide&lt;11-&gt;{Donc le sommet de la parabole est $S(2;-3)$.}
		
		\onslide&lt;12&gt;{\notez}
		\end{sol}
		
		\clearpage
		
	\end{exo}	
\end{frame}

\tagged{method}{\end{xcomment}}











</pre></body></html>